Séries numériques
Les séries numériques prolongent l’étude des suites en s’intéressant à la somme de leurs termes.
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Définitions de base
Idée centrale
Une série est la somme formelle c3u_n d’une suite, via ses sommes partielles.
- ==S_n = u_0 + \cdots + u_n==.
- La série converge si (S_n) admet une limite finie.
- La somme de la série est cette limite.
Repères express
- La divergence signifie que (S_n) ne converge pas.
- Le comportement de u_n seul ne suffit pas à conclure.
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Séries géométriques
Formule et condition
La série géométrique converge exactement quand |r|<1, avec départ à n=0.
Mémo rapide
Quand |r|<1, la géométrie "se ferme" ; sinon, elle ne se stabilise pas.
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Séries à termes positifs
Propriété et comparaison
Si 0 \le u_n \le v_n
- Et \sum v_n converge.
- Alors \sum u_n converge.
- On compare à une série connue.
Si 0 \le v_n \le u_n
- Et \sum v_n diverge.
- Alors \sum u_n diverge.
- La comparaison est terme à terme.
Point clé
- Si u_n \ge 0, les sommes partielles sont croissantes.
- Une suite croissante converge ssi elle est majorée.
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Critère de d'Alembert
Règle du quotient
Si la limite est < 1, la série positive converge ; si elle est > 1, elle diverge.
Piège classique
Le critère est muet quand la limite vaut 1.
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Convergence absolue et conditionnelle
Comparaison des notions
| Notion | Définition | Conséquence |
|---|---|---|
| Convergence absolue | \sum |u_n| converge | \sum u_n converge |
| Convergence conditionnelle | \sum u_n converge, mais pas \sum |u_n| | Convergence non absolue |
À retenir
- L’absolue convergence est la notion la plus forte.
- Les séries alternées donnent souvent une convergence conditionnelle.
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Application éclair
Exemple guidé
Étudier \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n.
- On reconnaît une série géométrique de raison r = 1/2.
- On a |r| < 1, donc la série converge.
- Sa somme vaut \frac{1}{1-1/2}.
La série converge et sa somme est 2.
Mini-défi
- Quelle condition sur r assure la convergence d’une série géométrique ?
- Que compare-t-on dans le critère de comparaison ?
- Les séries numériques prolongent l’étude des suites en s’intéressant à la somme de leurs termes. Savoir reconnaître une convergence, utiliser les critères adaptés et distinguer convergence absolue et conditionnelle est indispensable en analyse de L1.