Séries de Fourier
Les séries de Fourier décomposent une fonction périodique en modes sinusoïdaux et relient temps, fréquence et énergie.
Cadre et bases
Définition
Une fonction périodique vérifie f(x+T)=f(x). La période fondamentale est le plus petit T>0.
- La série utilise des fonctions de base orthogonales.
- La décomposition peut être réelle ou complexe.
Comparaison
Forme réelle
- Coefficients a_n et b_n.
- Base cos(nx) et sin(nx).
- Terme constant a_0/2.
Forme complexe
- Coefficients c_n complexes.
- Base e^{inx}.
- Écriture plus compacte.
Diagramme
Coefficients de Fourier
Formule
On calcule les coefficients par orthogonalité sur une période. Pour la forme complexe, on obtient c_n par intégration sur la même période.
Processus
- 1
Choisir une période d'intégration adaptée.
- 2
Exploiter la parité de f si elle existe.
MemoryTip
POI : Période, Orthogonalité, Intégrale. Les trois mots suffisent pour retrouver le calcul des coefficients.
Sommes et convergence
Tableau
| Objet | Rôle | Idée clé |
|---|---|---|
| Somme partielle | Approxime f | On garde les premiers modes. |
| Convergence ponctuelle | Valeur au point | La série suit f aux points réguliers. |
| Discontinuité | Valeur moyenne | La série prend la moyenne des limites. |
Worked example
Une fonction périodique présente un saut sur une période. Que donne la série au point du saut, en supposant la convergence classique de Fourier ?
- On suppose une fonction périodique avec un saut unique.
- Aux points de discontinuité, la série converge vers la moyenne des limites.
La série converge vers la valeur moyenne au saut, pas vers une seule limite.
Practice
- Que signifie convergence ponctuelle pour une série de Fourier ?
- Quelle valeur prend la série à une discontinuité ?
Énergie et applications
Formule
L'identité de Parseval relie l'énergie du signal à la somme des carrés des coefficients de Fourier.
Key figure
Les séries de Fourier relient le domaine temporel et le domaine fréquentiel.
Summary
- Une fonction périodique se décompose en modes trigonométriques ou complexes.
- Les coefficients se calculent par orthogonalité sur une période.