Réduction des endomorphismes
Réduire un endomorphisme, c’est choisir une base où la matrice devient plus simple.
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Spectre et espaces propres
Définitions essentielles
Pour un endomorphisme f, \lambda est une valeur propre si f(x)=\lambda x avec x\neq 0.
- Un vecteur propre est un vecteur non nul associé à
\lambda. - Le sous-espace propre est
\ker(f-\lambda\mathrm{Id}).
Polynôme caractéristique
Ses racines sont les valeurs propres de A, et il ne dépend pas du choix de la base.
Piège à éviter
Un vecteur propre n’est jamais le vecteur nul, et un espace propre contient tous les vecteurs propres associés.
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Matrices semblables
Idée de base
Même endomorphisme
- Deux matrices peuvent représenter le même opérateur.
- Elles sont liées par un changement de base.
- Le spectre reste inchangé.
Matrices semblables
B=P^{-1}AP.- Elles ont les mêmes valeurs propres.
- Elles décrivent la même action dans des bases différentes.
Relation à retenir
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Diagonalisation
Critère et principe
- 1
Chercher les valeurs propres de
A. - 2
Déterminer les espaces propres associés.
Condition clé
| Notion | Rôle |
|---|---|
| Multiplicité algébrique | Nombre de fois où \lambda apparaît dans le polynôme caractéristique. |
| Multiplicité géométrique | Dimension de l’espace propre de \lambda. |
| Diagonalisable | Somme des dimensions des espaces propres égale à la dimension de l’espace. |
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Trigonalisation et puissances
Comparer les formes
Matrice diagonale
- Les calculs de puissances sont immédiats.
- Chaque valeur propre est sur la diagonale.
- Elle existe quand il y a assez de vecteurs propres.
Matrice triangulaire
- Les valeurs propres restent sur la diagonale.
- Elle aide quand la diagonalisation échoue.
- Elle simplifie aussi le calcul des puissances.
Calcul utile
Si A=PDP^{-1} avec D diagonale, calculer A^n pour n\ge 1.
- On élève la forme diagonale :
D^n. - On conserve l’ordre
A^n=(PDP^{-1})^n. - Les facteurs intermédiaires se simplifient.
- On obtient
A^n=PD^nP^{-1}.
La puissance d’une matrice diagonalisable se réduit à la puissance de sa matrice diagonale.
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Révision active
Mini-défi
- Donner la définition d’une valeur propre.
- Écrire la formule du polynôme caractéristique.
- Dire quand une matrice est diagonalisable.
Résumé express
\lambdaetxdécrivent le comportement essentiel def.- Les matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.