Vocabulaire logique

Les preuves s’appuient sur des propositions, des implications et des équivalences.

• P \Rightarrow Q signifie : si P est vraie, alors Q est vraie.
• P \Leftrightarrow Q signifie : P et Q sont équivalentes.
• La contraposée de P \Rightarrow Q est \neg Q \Rightarrow \neg P.

Négation des quantificateurs

Pour nier un "pour tout", on exhibe un contre-exemple. Pour nier un "il existe", on montre que rien ne convient.

Preuve directe

1. 1

   Partir des hypothèses données.

2. 2

   Enchaîner des déductions justifiées.

Disjonction de cas

Choisir la bonne méthode

Pièges fréquents

• Prouver l’inverse n’est pas prouver la contraposée
• Un contre-exemple invalide, il ne démontre jamais une propriété générale

Structure de la récurrence

Comparer deux solutions

Montrer qu’une solution, si elle existe, est unique.

• Supposer deux objets u et v solutions du même problème.
• Utiliser les mêmes hypothèses sur u et sur v.
• Comparer les deux objets pour obtenir u = v.

On conclut que la solution est unique.

Mini-défi mémoire

Pensez à la suite D-C-A-R : Directe, Contraposée, Absurde, Récurrence.

Écrire proprement

Règles de rédaction

• Énoncer clairement hypothèses et objectif.
• Nommer la méthode de preuve choisie.

À retenir

• Implication, équivalence et quantificateurs forment la base logique.
• La contraposée, l’absurde et les cas sont des outils puissants.