Définition

On cherche à maximiser ou minimiser une fonction objectif sous une contrainte d’égalité.

• L’ensemble admissible regroupe les choix qui respectent la contrainte.
• Un optimum intérieur n’utilise pas la contrainte comme frontière active.
• Un candidat doit d’abord satisfaire la contrainte avant d’être comparé.

Repères

• Fonction objectif : grandeur à optimiser.
• Contrainte d’égalité : relation imposée entre variables.

Formule

On combine l’objectif f et la contrainte g(x)=0 dans un même outil de calcul.

Procédure

1. 1

   Écrire la contrainte sous la forme g(x)=0.

2. 2

   Construire le lagrangien.

Mémo

Pense au lagrangien comme à une balance : l’objectif pèse d’un côté, la contrainte de l’autre.

Comparaison

Résumé

• Le premier ordre trouve les candidats.
• Le second ordre aide à confirmer l’optimum.

Définition

Le multiplicateur de Lagrange mesure la valeur marginale de la contrainte.

• Il indique le gain d’un assouplissement de la contrainte.
• Il s’interprète selon le sens économique du problème.

Relations

Application guidée

Maximiser f(x,y) sous la contrainte g(x,y)=0 avec une seule égalité.

• Écrire \mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y).
• Calculer les conditions du premier ordre.
• Résoudre le système avec la contrainte.

La solution admissible qui satisfait les conditions est le candidat optimal.

À toi

Résumé

• On optimise seulement parmi les choix admissibles.
• Le lagrangien transforme le problème contraint en système.
• Les conditions du premier et du second ordre structurent la recherche.
• Le multiplicateur donne la valeur marginale de la contrainte.