Variables aléatoires
Transformer le hasard en nombres pour calculer, comparer et décider.
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Modéliser le hasard
Variable aléatoire
Une variable aléatoire associe à chaque issue un nombre. Elle transforme le hasard en quantité mesurable.
- Issue et valeur ne sont pas la même chose.
- On note souvent la variable par
X.
Idée clé
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Loi de probabilité
Construire la loi
- 1
Lister les valeurs possibles de
X. - 2
Associer la probabilité de chaque valeur.
Table de loi
Valeur de X | Probabilité |
|---|---|
| x_1 | p(X=x_1) |
| x_2 | p(X=x_2) |
| x_3 | p(X=x_3) |
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Espérance et variance
Formules
L’espérance est une moyenne pondérée. La variance mesure l’éloignement des valeurs autour de cette moyenne.
Lecture intuitive
Espérance
- Valeur moyenne à long terme.
- Gain moyen ou perte moyenne.
- Centre du modèle.
Variance
- Mesure la dispersion.
- Plus elle est grande, plus c’est incertain.
- Écart autour de l’espérance.
À retenir
Pense à l’espérance comme au centre de gravité du hasard, et à la variance comme au flou autour de ce centre.
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Gain algébrique
Modéliser un gain
On définit souvent X comme un gain algébrique : positif si on gagne, négatif si on perd.
- Le signe du gain est indispensable.
- La loi se construit à partir des gains.
Exemple guidé
Un jeu rapporte +5 euros si on gagne et -2 euros si on perd. On modélise le gain par X.
- Définir
Xcomme le gain du joueur. - Lister les valeurs possibles :
5et-2. - Associer à chaque valeur sa probabilité connue.
L’espérance donne le gain moyen du joueur sur un grand nombre de parties.
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S’entraîner
Questions rapides
- Qu’appelle-t-on une variable aléatoire ?
- Que représente la loi de probabilité de
X? - Comment interpréter une variance grande ?
Résumé express
- Une variable aléatoire transforme des issues en nombres.
- La loi associe à chaque valeur sa probabilité.