Lois continues
Les lois continues décrivent des variables aléatoires sur un intervalle ou sur 1 .
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Densité et répartition
Repères
Une loi continue est décrite par une densité f non négative, avec aire totale 1.
- P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx.
- F(x) = P(X \le x) est la fonction de répartition.
Lien utile
À savoir
- f(x) \ge 0 partout.
- \int_{\mathbb{R}} f(x)\,dx = 1.
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Espérance et variance
Formules
L’espérance mesure le centre moyen, et la variance mesure la dispersion autour de ce centre.
À retenir
- \sigma = \sqrt{Var(X)} est l’écart-type.
- L’espérance n’est pas forcément une valeur possible.
Mémo
Centre puis dispersion : d’abord E(X), ensuite Var(X), enfin \sigma.
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Lois de base
Uniforme vs exponentielle
Loi uniforme sur [a,b]
- Densité constante.
- Probabilité proportionnelle à la longueur.
- E(X)=\frac{a+b}{2}.
Loi exponentielle de paramètre \lambda>0
- Densité \lambda e^{-\lambda x} pour x \ge 0.
- Loi d’attente.
- E(X)=\frac{1}{\lambda} et Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}.
Normale
| Loi | Paramètres | Forme / propriété |
|---|---|---|
| Normale | \mu, \sigma^2 | Courbe en cloche, symétrique. |
| Normale centrée réduite | 0, 1 | Notée N(0,1). |
| Standardisation | \mu, \sigma | \frac{X-\mu}{\sigma} transforme vers N(0,1). |
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Identifier vite
Comparaison visuelle
Mini-exemples
On sait seulement qu’une variable suit une loi sur [a,b]. Quelle loi est plausible si tout l’intervalle est également probable ?
- La densité est constante sur l’intervalle.
- La probabilité dépend seulement de la longueur.
- La loi correspond à l’uniforme sur [a,b].
La loi uniforme convient.
- Les lois continues décrivent des variables aléatoires sur un intervalle ou sur 1 .