Matrices et systèmes linéaires
Outils de base pour manipuler les matrices et résoudre les systèmes linéaires en Licence 1.
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Opérations matricielles
Base
Une matrice est un tableau rectangulaire de coefficients.
Règles
- Addition et soustraction exigent les mêmes dimensions.
- Le produit par un scalaire agit terme à terme.
Dimensions du produit
| A | B | AB |
|---|---|---|
| m x n | n x p | m x p |
| ligne de A | colonne de B | coefficient calculé par somme de produits terme à terme. |
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Produit matriciel
Méthode
- 1
Prendre une ligne de A.
- 2
Prendre une colonne de B.
Lecture
Produit matriciel
- Ligne fois colonne.
- Résultat dépend de l’ordre.
- Réunit les dimensions compatibles.
Produit terme à terme
- Coefficient par coefficient.
- Ne remplace pas AB.
- N’est pas le produit usuel.
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Déterminant et inverse 2x2
Formule
Pour A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, le déterminant compare les deux diagonales.
Inverse
Cette formule vaut seulement si \det(A)\neq 0.
Mémo
Diagonale moins l’autre diagonale pour le déterminant, puis on permute a et d.
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Pivot de Gauss
Opérations autorisées
- Échanger deux lignes.
- Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
Forme échelonnée
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Résoudre un système linéaire
Cas possibles
| Situation | Lecture | Conclusion |
|---|---|---|
| Pivot dans chaque inconnue | Aucune variable libre | Solution unique |
| Ligne du type 0 = 1 | Contradiction | Aucune solution |
| Variable libre | Au moins une inconnue non fixée | Infinité de solutions |
Lien avec l’inverse
Résoudre AX=b quand A est inversible.
- Si A est inversible, on multiplie à gauche par A^{-1}.
- On obtient A^{-1}AX=A^{-1}b.
Le système admet une unique solution.
Lecture rapide
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Entraînement
Questions
- Pourquoi AB peut-il exister sans que BA existe ?
- Quand une matrice 2x2 est-elle inversible ?
- Que signifie une ligne 0 = 1 après Gauss ?
Résumé
- Les opérations matricielles donnent le langage de calcul.
- Le déterminant 2x2 décide de l’inversibilité.