Géométrie vectorielle
La géométrie vectorielle relie les objets géométriques aux coordonnées pour raisonner plus vite et plus efficacement.
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Vecteurs et coordonnées
Du point au vecteur
Un vecteur décrit un déplacement par direction, sens et norme.
- AB représente le déplacement de A vers B.
- Ses coordonnées sont
xB - xAetyB - yA. - Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
Opérations utiles
On additionne coordonnée par coordonnée, puis on peut multiplier un vecteur par un réel.
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Colinéarité et parallélisme
Reconnaître la colinéarité
Vecteurs colinéaires
- L’un est un multiple de l’autre.
- Leurs coordonnées sont liées par un même réel.
- Ils ont la même direction.
Vecteurs non colinéaires
- Aucun n’est multiple de l’autre.
- Les coordonnées ne vérifient pas la même proportion.
- Les directions sont différentes.
Conséquences géométriques
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Milieu et repérage
Coordonnées d’un milieu
Le milieu d’un segment est la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Repérer sans se tromper
Abscisse d’abord, ordonnée ensuite : lis l’axe horizontal puis l’axe vertical, et ne mélange jamais les deux.
Vérifier un point
- 1
Lire les coordonnées du point dans le repère.
- 2
Comparer avec les coordonnées attendues.
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Droites : équations et intersections
Appartenance à une droite
| Situation | Test |
|---|---|
| Point sur la droite | Ses coordonnées vérifient l’équation. |
| Point hors de la droite | L’égalité est fausse. |
Résoudre une intersection
On considère deux droites d’équations données dans un exercice. Chercher leur point d’intersection.
- Écrire les deux équations ensemble.
- Résoudre le système formé par ces deux équations.
- Vérifier que les coordonnées trouvées satisfont les deux équations.
Le point obtenu est l’intersection si et seulement si il convient aux deux droites.
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S’entraîner rapidement
Révision flash
- Comment calcule-t-on les coordonnées de \overrightarrow{AB} ?
- Quand dit-on que deux vecteurs sont colinéaires ?
- Quelle formule donne les coordonnées du milieu de [AB] ?
L’essentiel à retenir
- Passer d’une figure aux coordonnées fait gagner du temps.
- Les vecteurs servent à tester alignement et parallélisme.