Probabilités conditionnelles
Les probabilités conditionnelles servent à étudier la probabilité d’un événement avec une information supplémentaire.
Événements
Vocabulaire
Un événement est un ensemble d’issues. L’intersection signifie « et ». La réunion signifie « ou ».
- Univers : ensemble de toutes les issues.
- Événement contraire :
\overline{A}.
Repères
| Notation | Sens |
|---|---|
| P(A) | Probabilité de A |
| P(A∩B) | A et B |
| P(A∪B) | A ou B |
Probabilité conditionnelle
Définition
On se place dans le cas où B est réalisé, puis on mesure la part de A.
Mémo
Sachant B, on se place dans B. Ne pas confondre `P(A|B)` et `P(B|A)`.
Arbre pondéré
- 1
Chaque niveau correspond à une étape.
- 2
Chaque branche porte une probabilité.
Probabilités composées
Calcul global
On additionne les chemins favorables quand les événements B_i forment une partition.
Idée clé
Piège
On additionne des chemins incompatibles seulement après les avoir isolés.
Indépendance
Test
Indépendants
- P(A∩B)=P(A)×P(B).
- P(A|B)=P(A) si P(B)\neq 0.
- L’information sur B ne change rien à A.
Incompatibles
- A∩B est impossible.
- P(A∩B)=0.
- Ils peuvent être dépendants.
À retenir
Indépendants ne veut pas dire incompatibles.
S’entraîner
Exemple guidé
Dans une population, on choisit un individu. Soit B : « l’individu vérifie une condition donnée » et A : « il réalise un événement ». On connaît P(B), P(A∩B) et P(A∩\overline{B}). Calculer P(A).
- Découper selon B et son contraire.
- Écrire P(A)=P(A∩B)+P(A∩\overline{B}).
- Additionner les deux chemins favorables.
On obtient la probabilité totale de A.
Vrai ou faux
- P(A|B) est définie même si P(B)=0.
- Si P(A∩B)=P(A)P(B), alors A et B sont indépendants.
Bilan
Résumé
- Les événements se combinent par intersection et réunion.
- La probabilité conditionnelle se lit avec une information donnée.
- L’arbre pondéré aide à calculer des chemins.
- Les probabilités totales regroupent tous les cas possibles.