Produit scalaire dans le plan
Le produit scalaire relie calcul, angles et orthogonalité dans le plan.
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Définition et repères
Idée centrale
Le produit scalaire de deux vecteurs mesure leur alignement et leur direction commune.
- u·v = ||u|| ||v|| cos(θ).
- u·v = v·u.
Signes et sens
Produit scalaire positif
- Angle aigu.
- Vecteurs proches du même sens.
Produit scalaire négatif ou nul
- Angle obtus ou droit.
- Vecteurs opposés ou orthogonaux.
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Formules en coordonnées
Calcul direct
On multiplie les coordonnées de même rang, puis on additionne. Attention aux signes des coordonnées.
Vecteurs issus de points
- 1
Calculer les coordonnées du vecteur AB avec xB
- 2
Remplacer dans la formule xx' + yy'.
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Angles et orthogonalité
Lien avec l’angle
Cette formule s’utilise seulement avec deux vecteurs non nuls. Elle permet de calculer un angle.
Vérification rapide
| Situation | Conclusion |
|---|---|
| u·v > 0 | Angle aigu. |
| u·v = 0 | Vecteurs orthogonaux. |
| u·v < 0 | Angle obtus. |
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Projection et géométrie
Projection utile
La projection d’un vecteur sur un autre donne sa part dans une direction choisie.
- Elle sert à mesurer une longueur projetée.
- Elle aide à résoudre des problèmes de figure.
- Elle transforme une question géométrique en calcul.
Applications typiques
- Montrer un angle droit dans une figure.
- Calculer une longueur inconnue.
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Mémo et entraînement
Astuce
Pense à alignement, angle, projection : trois mots pour lire le produit scalaire.
Mini-défi
- Calculer u·v quand u(x,y) et v(x',y').
- Dire quand deux vecteurs sont orthogonaux.
- Utiliser la formule de l’angle avec deux vecteurs non nuls.
- Le produit scalaire relie calcul, angles et orthogonalité dans le plan.