Suites arithmétiques et géométriques
Les suites arithmétiques et géométriques sont deux modèles fondamentaux pour décrire des évolutions discrètes.
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Définir une suite
Suite et écritures
Une suite est une fonction définie sur les entiers naturels. Son terme général se note u_n.
- Définition explicite :
u_nest donné directement. - Définition récurrente :
u_{n+1}se calcule à partir deu_n. - La condition initiale fixe le premier terme,
u_0ouu_1.
Repères essentiels
- L’indice désigne le rang, pas la valeur du terme.
- !!Sans terme initial, une récurrence est incomplète.
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Suite arithmétique
Règle de calcul
On passe d’un terme au suivant en ajoutant la raison r.
Reconnaître et calculer
Propriété
- Différence constante entre deux termes consécutifs.
- Raison notée souvent
r. - Formule explicite :
u_n=u_0+nrouu_n=u_1+(n-1)r.
Sens de variation
- Si
r>0, la suite est croissante. - Si
r<0, la suite est décroissante. - Si
r=0, la suite est constante.
Mémo
Arithmétique = on ajoute toujours la même quantité.
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Suite géométrique
Règle de calcul
On passe d’un terme au suivant en multipliant par la raison q.
Reconnaître et calculer
Propriété
- Rapport constant entre deux termes consécutifs.
- Raison notée souvent
q. - Formule explicite :
u_n=u_0\times q^nouu_n=u_1\times q^{n-1}.
Sens de variation
- Si
q>1etu_npositif, la suite est croissante. - Si
0<q<1, la suite est décroissante. - !!Le signe des termes compte pour conclure sur les variations.
Mémo
Géométrique = on multiplie toujours par le même nombre.
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Variations et sommes
Variations et sommes usuelles
| Suite | Variation | Somme |
|---|---|---|
| Arithmétique | Comparer deux termes consécutifs. | Somme des termes obtenue à partir de leur moyenne. |
| Géométrique | Comparer le rapport de deux termes | Somme des puissances successives grâce à la formule géométrique. |
| Modèle | Ajout fixe ou multiplication fixe. | Choisir la formule selon le contexte. |
Règle de lecture
- 1
Repérer si l’évolution ajoute une même quantité.
- 2
Repérer si l’évolution multiplie par un même
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Modélisation
Reconnaître le bon modèle
Mini-défi
- Dire si une suite est arithmétique ou géométrique à partir d’un tableau.
- Trouver la raison quand on connaît deux termes consécutifs.
Conclusion
- Une suite se définit explicitement ou par récurrence.
- Une suite arithmétique ajoute une raison
r.