Homothéties
Centre, rapport et effets sur les figures
1
Centre et rapport
Définition
Une homothétie est définie par son centre O et son rapport k.
- Le centre O reste fixe.
- Les points O, A et A′ sont alignés.
- La relation vectorielle est .
Signe du rapport
Rapport positif
- A′ se place sur la même demi-droite que A.
Rapport négatif
- A′ se place sur la demi-droite opposée à A.
2
Longueurs et forme
Effets du rapport
La valeur absolue donne le facteur des longueurs ; les angles sont conservés.
Agrandissement ou réduction
Une homothétie de rapport −2 transforme un segment de 3 cm.
- Le facteur des longueurs est |−2|=2.
- La longueur image vaut 2 × 3 = 6 cm.
- Le signe négatif place l’image de l’autre côté du centre.
Le segment image mesure 6 cm : la figure est agrandie et garde ses angles.
3
Alignement et parallélisme
Propriétés conservées
4
Construire l’image
Méthode
- 1
Tracer une droite du centre O vers chaque sommet.
- 2
Choisir la demi-droite selon le signe de k.
- 3
Placer chaque image à |k| fois la distance initiale.
- 4
Relier les sommets images dans le même ordre.
Mémo
Pense à deux commandes : le signe choisit le côté, |k| règle la taille.
À retenir
- Le centre reste fixe et chaque point image est aligné avec lui.
- Le signe de k indique le côté de l’image.